\documentclass[landscape]{slides}
%\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T1]{polski}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[pdftex,xdvi]{graphicx}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{esint}
\begin{document}

\def\dd{\hbox{$\mathrm d$}}
\def\mag{\hbox{$^{m}$}}
\def\fmag{\hbox{$.\!\!^{m}$}}
\def\fdegr{\hbox{$.\!\!^\circ$}}
\def\fasec{\hbox{$.\!\!^{\prime\prime}$}}
\def\famin{\hbox{$.\!\!^{\prime}$}}
\def\degr{\hbox{$^\circ$}}
\def\amin{\hbox{$^\prime$}}
\def\asec{\hbox{$^{\prime\prime}$}}
\def\fh{\hbox{$.\!\!^{\mathrm h}$}}
\def\fm{\hbox{$.\!\!^{\mathrm m}$}}
\def\fs{\hbox{$.\!\!^{\mathrm s}$}}
\def\fM{\hbox{$.\!\!^{\mathrm M}$}}
\def\hour{\hbox{$^\mathrm h$}}
\def\min{\hbox{$^\mathrm m$}}
\def\sec{\hbox{$^\mathrm s$}}
\def\sun{\odot}
%\begin{slide}

\setlength{\parindent}{0mm}

Marian Soida
\  
\vfil
\ 
\vfil

\begin{center}
{\bf Astronomia Ogólna i Sferyczna}

{\tiny 1 rok astronomii}
\end{center}

\vfill
{\tt http://www.oa.uj.edu.pl/$\sim$soida/wyklady/AOiS/AOiS.pdf}
\newpage

{\bf Literatura}

{\small
Eugeniusz Rybka ,,Astronomia ogólna'' PWN, Warszawa 1983 (wyd 7.)

Jan Mietelski ,,Astronomia w geografii'' PWN, Warszawa 2005 (wyd. 4.)

Jerzy S. Stodółkiewicz ,,Astrofizyka ogólna z ementami geofizyki'', PWN, Warszawa 1978

Jerzy M. Kreiner ,,Ziemia i Wszechświat, astronomia nie tylko dla geografów'' Wyd. Naukowe UP, Kraków 2009

\ldots

{\tt http://www.wiw.pl/astronomia}

{\tt http://pl.wikipedia.org}

{\tt http://apod.oa.uj.edu.pl}

{\tt http://www.nasa.gov}

\ldots}

\newpage

{\bf Spis treści }

\begin{itemize}
 \item{układy współrzędnych}
 \item{geometria sferyczna}
 \item{układy współrzędnych astronomicznych}
 \item{fizyka układów z oddziaływaniem grawitacyjnym}
 \item{elementy mechaniki nieba}
\end{itemize}
\newpage
{\bf układy wspólrzędnych}

$-$ układ kartezjański i biegunowy na płaszczyźnie

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/kart2.pdf}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$x=r\cos\alpha$$
$$y=r\sin\alpha$$

$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}r\cos\alpha\\r\sin\alpha\end{array}\right)
$$
}

$-$ układ kartezjański i sferyczny w 3D (prawo i lewoskretny)
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/0001.png}

$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}r\cos\alpha\cos\beta\\r\sin\alpha\cos\beta\\r\sin\beta\end{array}\right)
$$

$\bullet$ transformacje układów współrzędnych

$-$ przesunięcie

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0002.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{c}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)+
\left(\begin{array}{c}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)
$$
}

$-$ obrót na płaszczyźnie

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0003.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}x\cos\gamma+y\sin\gamma\\-x\sin\gamma+y\cos\gamma\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma&\sin\gamma\\-\sin\gamma&\cos\gamma\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)
$$}

\newpage
$-$ obrót w przestrzeni -- wokół osi $Z$

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0006.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}x\cos\gamma+y\sin\gamma\\-x\sin\gamma+y\cos\gamma\\z\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma&\sin\gamma&0\\-\sin\gamma&\cos\gamma&0\\0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$
}

\newpage
$-$ wokół osi $X$

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0004.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos\gamma&\sin\gamma\\0&-\sin\gamma&\cos\gamma\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$
}

\newpage
$-$ wokół osi $Y$

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0005.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma&0&-\sin\gamma\\0&1&0\\\sin\gamma&0&\cos\gamma\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$
}

\newpage
$\bullet$ współrzędne sferyczne

\includegraphics[width=\textwidth]{pic/0007.png}

dla przypomnienia
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}r\cos\alpha\cos\beta\\r\sin\alpha\cos\beta\\r\sin\beta\end{array}\right)
$$

i ,,w drugą stronę''
$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
$$\tan\alpha={y\over x}$$
$$\tan\beta={z\over\sqrt{x^2+y^2}}$$

na sferze jednostkowej $r=1$
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}\cos\alpha\cos\beta\\\sin\alpha\cos\beta\\\sin\beta\end{array}\right)
$$

\newpage

{\bf trójkąt sferyczny}

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0011.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
koło wielkie -- przecięcie sfery z płaszczyzną przechodzącą przez jej środek \\

koło małe -- przecięcie sfery z inną płaszczyzną\\

odległość kątowa -- kąt pomiędzy kierunkami (punktami na sferze) -- długość łuku koła wielkiego przechodzącego przez te punkty
}

\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/0014.png}
\parbox[b]{.6\textwidth}{
trójkąt sferyczny -- figura wyznaczona przez trzy punkty na sferze (wierzchołki), wraz z łukami kół wielkich łączącymi te punkty (boki)\\

\it wielkość kątów i boków wyrażamy miarą kątową
}

suma kątów: $A+B+C>\pi$\\
eksces: $\varepsilon=A+B+C-\pi$\\
pole powierzchni trójkąta: $S=\varepsilon\cdot r^2$
\newpage
$-$ miary kątów

\begin{itemize}
\item[] SI: 1 radian -- kąt, który wycina z okręgu łuk równy promieniowi
\begin{itemize}
\item[--] kąt pełny: 2$\pi$\,rad
\item[--] kąt prosty: $\pi/2$\,rad
\end{itemize}
\item[] stopnie, minuty, sekundy (kątowe)
\begin{itemize}
\item[--] kąt pełny: 360\degr
\item[--] kąt prosty: 90\degr
\item[] 1\degr\,=\,60'\,=\,3600''
\end{itemize}
\item[] godziny, minuty, sekundy (czasowe)
\begin{itemize}
\item[--] kąt pełny: 24$^\mathrm h$
\item[--] kąt prosty: 6$^\mathrm h$
\item[] 1$^\mathrm h$\,=\,60$^\mathrm m$\,=\,3600$^\mathrm s$
\end{itemize}
\item 1\degr\,=\,$\pi$/180\,rad
\item 1$^\mathrm h$\,=\,15\degr\,=\,$\pi$/12\,rad\,; np. 4$^\mathrm s$\,=\,1'
\end{itemize}

$-$ zależności pomiędzy bokami i kątami w trójkącie

\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/0015.png}
\parbox[b]{.6\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}\cos(A-90\degr)\cos(90\degr-b)\\\sin(A-90\degr)\cos(90\degr-b)\\\sin(90\degr-b)\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}\cos(90\degr-B)\cos(90\degr-a)\\\sin(90\degr-B)\cos(90\degr-a)\\\sin(90\degr-a)\end{array}\right)
$$
}
\newpage
$$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}\cos(A-90\degr)\cos(90\degr-b)\\\sin(A-90\degr)\cos(90\degr-b)\\\sin(90\degr-b)\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}\sin A\sin b\\-\cos A\sin b\\\cos b\end{array}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}\cos(90\degr-B)\cos(90\degr-a)\\\sin(90\degr-B)\cos(90\degr-a)\\\sin(90\degr-a)\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}\sin B\sin a\\\cos B\sin a\\\cos a\end{array}\right)
$$

ale
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos c&\sin c\\0&-\sin c&\cos c\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$

więc:
$$
\left(\begin{array}{c}\sin B\sin a\\\cos B\sin a\\\cos a\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos c&\sin c\\0&-\sin c&\cos c\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}\sin A\sin b\\-\cos A\sin b\\\cos b\end{array}\right)
$$

i po rozpisaniu:
$$\begin{array}{rcl}
\sin B\sin a&=&\sin A\sin b\\
\cos B\sin a&=&-\cos A\sin b\cos c+\cos b\sin c\\
\cos a&=&\cos A\sin b\sin c+\cos b\cos c
\end{array}$$

\newpage
$-$ wzór sinusów:\\
$$ {\sin a\over\sin A} = {\sin b\over\sin B} $$

$-$ wzór kosinusów:\\
$$\cos a =  \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A $$

$-$ wzór mieszany:\\
$$ \sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A$$

\newpage
zamieniając cyklicznie $(a,A)\rightarrow(b,B)\rightarrow(c,C)\rightarrow(a,A)$

$$ {\sin b\over\sin B} = {\sin c\over\sin C} $$
$$\cos b =  \cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B $$

$$ {\sin c\over\sin C} = {\sin a\over\sin A} $$
$$\cos c =  \cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C $$

\newpage
trójkąt biegunowy (dualny, stowarzyszony)

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/dual.pdf}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$$ \begin{array}{rclrcl}
A'&=&180\degr-a\,,&a'&=&180\degr-A\\
B'&=&180\degr-b\,,&b'&=&180\degr-B\\
C'&=&180\degr-c\,,&c'&=&180\degr-C
\end{array}
$$}

$-$ wzór kosinusów dla kątów:\\
$$\cos A =  -\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a $$

i przestawienia cykliczne:

$$\cos B =  -\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b $$
$$\cos C =  -\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c $$

\newpage
\parbox[t]{.5\textwidth}{podsumowanie wzorów:}
\parbox[T]{.4\textwidth}{\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/trsf.pdf}}

$$ {\sin a\over\sin A} = {\sin b\over\sin B} = {\sin c\over\sin C}$$
$$\cos a =  \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A $$
$$\cos A =  -\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a $$
$$ \sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A$$

\newpage
{\bf trójkąt prostokątny}

weźmy wzór kosinusów
$$\cos a =  \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A $$
i jeśli np. $A=90\degr$ to dostajemy twierdzenie Pitagorasa
$$\cos a =  \cos b\cos c  \hspace{2cm}(*)$$
po podzieleniu wzorów sinusów 
$$\sin c=\sin a\sin C\,;\,\,\sin b=\sin a\sin B\hspace{2cm}(*)$$
przez nie, dostaniemy
$$\tan b=\tan a\cos C\hspace{2cm}(*)$$
$$\tan c=\tan a\cos B\hspace{2cm}(*)$$
weźmy wzór mieszany
$$ \sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A$$
to dla $A=90\degr$ 
$$ \sin a\cos B=\cos b\sin c$$
a $\sin a=\sin b/\sin B$ czyli
$$\tan b=\sin c\tan B\hspace{2cm}(*)$$
weźmy wzór kosinusów
$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$$
i podstawiając $\cos a=\cos b\cos c$ i $\sin a=\sin c/\sin C$
$$\cos c=\cos^2 b\cos c+\sin c\sin b\cos C/\sin C$$
czyli
$$\cos c\sin^2 b=\sin c\sin b\cos C/\sin C$$
i w końcu (gdy $\sin b\neq0$)
$$\tan c=\sin b\tan C\hspace{2cm}(*)$$
tzw. wzory tangensów;

ze wzoru kosinusów dla kątów
$$\cos A =  -\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a $$
dla $A=90\degr$ mamy
$$\cos B\cos C=\sin B\sin C\cos a $$
czyli tzw. wzór kotangensów
$$\cos a=\cot B\cot C\hspace{2cm}(*)$$

i jeszcze  
$$\cos B=\tan c\cot a={\sin c\over\cos c}{\cos a\over\sin a}$$
podstawiając $\sin c$ i $\cos a$
$$\cos B={\sin a\sin C\cos b\cos c\over\cos c\sin a}$$
czyli
$$\cos B=\cos b\sin C\hspace{2cm}(*)$$
i analogicznie
$$\cos C=\cos c\sin B\hspace{2cm}(*)$$
\newpage
$-$ reguła mnemotechniczna dla trójkąta prostokątnego

\parbox[b]{.7\textwidth}{
kosinus dowolnego boku\\
= iloczyn sinusów boków nieprzyległych\\
= kotangensów boków przyległych}
\includegraphics[width=.3\textwidth]{pic/pent.pdf}

\newpage
$\bullet$ związek trygonometrii sferycznej z płaską

dla małych wartości argumentu
$$\sin x\simeq{x}$$
$$\cos x\simeq1-{x^2\over2}$$
$-$ np. tw. Pitagorasa: $\cos a=\cos b\cos c$
$$1-{a^2\over2}\simeq\left(1-{b^2\over2}\right)\left(1-{c^2\over2}\right)\simeq1-{b^2\over2}-{c^2\over2}$$
i w końcu
$$a^2=b^2+c^2$$

$-$ wzór kosinusów: $\cos a=\cos b\cos c +\sin b\sin c\cos A$
$$1-{a^2\over2}\simeq\left(1-{b^2\over2}\right)\left(1-{c^2\over2}\right)+
b c\cos A\simeq1-{b^2\over2}-{c^2\over2}+b c\cos A$$
$$a^2=b^2+c^2-2 b c\cos A$$

$-$ wzór sinusów: ${\sin a/\sin A}={\sin b/\sin B}$
$${a\over\sin A}\simeq{b\over\sin B}$$
a w trójkącie prostokątnym ($A=90\degr$)
$$\sin B={b\over a}$$
\newpage
{\bf astronomiczne układy współrzędnych}

$\bullet$ układ horyzontalny

\begin{itemize}
\item[--]płaszczyzna horyzontu -- płaszczyzna prostopadła do kierunku pionu (siły ciężkości) w miejscu obserwacji, przechodząca przez środek sfery niebieskiej
\item[--]horyzont -- koło wielkie, wzdłuż którego płaszczyzna horyzontu przecina się ze sferą niebieską (nie jest tożsamy z widnokręgiem!)
\item[--]zenit (Z) i nadir (Nd) -- punkty przecięcia lokalnego pionu ze sferą niebieską, zenit zawsze jest nad horyzontem 
\item[--]oś świata -- oś obrotu sfery niebieskiej
\item[--]bieguny świata (północny P i południowy P') -- punkty przecięcia osi świata ze sferą niebieską
\item[--]koło wierzchołkowe -- każde koło wielkie, przechodzące przez zenit (a więc również przez nadir)
\item[--]południk miejscowy -- koło wierzchołkowe, przechodzące przez bieguny, przecina się z horyzontem w punktach N i S (północnym i południowym)
\item[--]pierwszy wertykał -- koło wierzchołkowe o pałszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny południka lokalnego, przecina się z horyzontem w punktach E i W (wschodu i zachodu)
\item[--]E, S, W i N -- punkty kardynalne
\item[--]almukantar -- koło małe o pałszczyźnie równoległej do płaszczyzny horyzontu
\end{itemize}

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0008.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$-$ wysokość nad horyzontem $h$ -- kąt między półprostą łączącą środek sfery niebieskiej z gwiazdą a płaszczyzną horyzontu,\\
mierzy się ją od horyzontu ku zenitowi, czyli

$0\degr < h \leq +90\degr$ nad horyzontem

$-90\degr \leq h < 0\degr$ pod horyzontem

$-$ odległośc zenitalna $z = 90\degr - h$

mierzy się ją od zenitu ku nadirowi

$ 0\degr \leq z \leq +180\degr$
}

$-$ azymut $A$ -- kąt dwuścienny między płaszczyzną południka miejscowego a płaszczyzną koła wierzchołkowego przechodzącego przez gwiazdę,

mierzy się go wzdłuż horyzontu od punktu S w kierunku zachodnim i wtedy

$ 0\degr \leq A < +360\degr$

albo od punktu S w obu kierunkach i wtedy:

$0\degr < A < +180\degr$  na zachód

$-180\degr< A < 0\degr $ na wschód

azymut zenitu i nadiru jest nieokreślony.

(Uwaga: w geodezji azymut mierzy się od punktu N)

$\bullet$ układ równikowy I (godzinny)\\
\begin{itemize}
\item[--]równik niebieski -- koło wielkie, przecięcie sfery niebieskiej płaszczyzną prostopadłą do osi świata (rzut na sferę niebieską równika ziemskiego)
\item[--]równoleżnik niebieski -- koło małe o płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny równika niebieskiego
\item[--]szerokość geograficzna -- wysokość bieguna północnego w miejscu obserwacji -- kąt między kierunkiem ku zenitowi a płaszczyzną równika
\item[--]koło godzinne -- każde koło wielkie, przechodzące przez bieguny (południk miejscowy jest też kołem godzinnym)
\end{itemize}

\includegraphics[width=.45\textwidth]{pic/0009.png}
\parbox[b]{.55\textwidth}{
$-$ deklinacja $\delta$ -- kąt między półprostą łączącą środek sfery niebieskiej z gwiazdą a płaszczyzną równika niebieskiego,

mierzymy ją od równika ku biegunom, przy czym:

$ 0\degr < \delta < +90\degr$ na północ

$ -90\degr < \delta < 0\degr$ na południe

deklinacja nie zmienia się wraz z rotacją Ziemi,
}

$-$ kąt godzinny $t$ -- kąt dwuścienny między płaszczyzną południka miejscowego a płaszczyzną koła godzinnego przechodzącego przez obiekt,

mierzy się go w kierunku wstecznym, poczynając od połówki południka miejscowego przechodzącej przez zenit 

$$0\hour\leq t<24\hour $$

kąty godzinne biegunów nie są określone.

kąt godzinny obiektu ulega zmianie (rośnie) w ciągu doby.

\newpage

{\bf trójkąt paralaktyczny}

$-$ związki pomiędzy współrzędnymi w układach horyzontalnym i równikowym godzinnym

\parbox[b]{.5\textwidth}{
wierzchołkami są 

$-$ zenit

$-$ biegun (północny)

$-$ obiekt
}\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0012.png}

\parbox[T]{.6\textwidth}{
$\bullet$ współrzędne azymutalne $\rightarrow$ równikowe $(A,z)\rightarrow(t,\delta)$:
$$\sin\delta=\sin\phi\cos z-\cos\phi\sin z\cos A$$
$$\cos\delta=\sqrt{1-\sin^2\delta}$$
$$\cos z=\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos t$$
$$\cos t={\cos z-\sin\phi\sin\delta\over\cos\phi\cos\delta}$$
$$\sin t=\sin z\sin A/\cos\delta$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/trpar.pdf}

\parbox[T]{.6\textwidth}{
$\bullet$ współrzędne równikowe $\rightarrow$ azymutalne $(t,\delta)\rightarrow(A,z)$:
$$\cos z=\sin\delta\sin\phi+\cos\delta\cos\phi\cos t$$
$$\sin z=\sqrt{1-\cos^2 z}$$
$$\sin A=\cos\delta\sin t/\sin z$$
$$\sin\delta=\sin\phi\cos z-\cos\phi\sin z\cos A$$
$$\cos A={\sin\phi\cos z-\sin\delta\over\cos\phi\sin z}$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/trpar.pdf}

\newpage
$\bullet$ układ równikowy II (równonocny)

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0010.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$-$ deklinacja $\delta$ -- określona tak samo, jak w układzie godzinnym

$-$ rektascencja $\alpha$ -- kąt dwuścienny między płaszczyzną koła godzinnego przechodzącego przez punkt równonocy wiosennej (Barana) a płaszczyzną koła godzinnego przechodzącego przez dany obiekt,

mierzy się ją od punktu Barana wzdłuż równika w kierunku prostym

$0\hour\leq\alpha< 24\hour$
}

rektascencja biegunów nie jest określona.

w tym układzie współrzędne nie ulegają zmianie wskutek rotacji Ziemi,

wskutek zjawiska precesji punkt $\vernal$ przesuwa się wzdłuż ekliptyki ruchem wstecznym o ok. 50\fasec3/rok

$-$ znaki Zodiaku nie pokrywają się już z odpowiadającymi im gwiazdozbiorami (np. punkt $\vernal$ znajduje się w gwiazdozbiorze Ryb)

$-$ współrzędne należy podawać wraz z epoką, np. teraz podaje się je dla epoki 2000.0 (czyli takie, jakie były o północy 1.I.2000)

$\bullet$ układ ekliptyczny

$-$ ekliptyka -- koło wielkie, po którym przemieszcza się Słońce w swym ruchu rocznym

płaszczyzna ekliptyki jest nachylona do płaszczyzny równika pod kątem $\varepsilon$ = 23\degr 27\amin

Słońce porusza się po niej ruchem wstecznym

$-$ punkty równonocy to miejsca przecięcia ekliptyki z równikiem niebieskim

$\vernal$ (punkt Barana, punkt równonocy wiosennej) -- punkt, w którym $\delta_\sun$ zmienia się z ujemnej na dodatnią (ok. 21.III),\\wtedy $\delta_\sun$ = 0\degr ,  $\alpha_\sun=0\hour$

$-$ zwrotniki -- równoleżniki o deklinacji $+\varepsilon$ (zwrotnik Raka) i $-\varepsilon$ (zwrotnik Koziorożca)

jest przydatny do badania położenia Słońca i planet

\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0016.png}

$-$ ekliptyka jest jego płaszczyzną podstawową

$-$ bieguny ekliptyki (północny E i południowy E' -- punkty przecięcia sfery niebieskiej z prostą prostopadłą do ekliptyki, przechodzącą przez środek sfery

$-$ szerokość ekliptyczna $\beta$ -- kąt między półprostą łączącą środek sfery niebieskiej z gwiazdś a płaszczyzną ekliptyki, mierzymy ją od płaszczyzny ekliptyki ku jej biegunom

$$-90\degr\leq\beta\leq+90\degr$$

$-$ długość ekliptyczna $\lambda$ -- kąt dwuścienny między płaszczyzną koła wielkiego przechodzącego przez bieguny ekliptyki i punkt $\vernal$ a płaszczyzną koła wielkiego przechodzącego przez bieguny ekliptyki i dany obiekt,

mierzy się go od punktu $\vernal$ wzdłuż ekliptyki w kierunku prostym

$$0\degr\leq\lambda<360\degr$$

długość biegunów ekliptyki nie jest określona

długość i szerokość ekliptyczna nie zmieniają się wskutek rotacji Ziemi

\newpage
$\bullet$ układ galaktyczny

$-$ Równik galaktyczny -- wyznaczono na podstawie obserwacji wodoru międzygwiazdowego (linia 21\,cm -- 1420\,MHz)

$-$ Bieguny Galaktyki (północny BGN i południowy BGS) -- punkty przecięcia sfery niebieskiej z prostą prostopadłą do równika galaktycznego, przechodzącą przez środek sfery. W układzie równikowym: $\alpha_\mathrm{BGN} = 12\hour 51\min$; $\delta_\mathrm{BGN} = 27\degr08\amin$ (1950) -- gwiazdozbiór Warkocza Bereniki

$-$ Centrum Galaktyki -- utożsamia się je z radioźródłem Sgr A: $\alpha_\mathrm{GC} = 17\hour46\min$; $\delta_\mathrm{GC} = 28\degr56\amin$ (1950)

przydatny np. do prezentacji obserwacji naszej Galaktyki, obiektów pozagalaktycznych


\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0017.png}
\parbox[b]{.5\textwidth}{
$-$ Szerokość galaktyczna $b$ -- kąt między półprostą łączącą środek sfery niebieskiej z gwiazdą a płaszczyzną Galaktyki, mierzymy ją od płaszczyzny Galaktyki ku jej biegunom, przy czym:

$ 0\degr<b \leq +90\degr$ na póanocnej póakuli galaktycznej

$ -90\degr\leq b < 0\degr$ na południowej półkuli galaktycznej
}

$-$ Długość galaktyczna $l$ -- kąt dwuścienny między płaszczyzną koła wielkiego przechodzącego przez bieguny Galaktyki i jej centrum a płaszczyzną koła wielkiego przechodzącego przez bieguny Galaktyki i dany obiekt, mierzy się ją od centrum Galaktyki wzdłuż równika galaktycznego w kierunku prostym

$ 0\degr \leq l < 360\degr$

Długość galaktyczna biegunów galaktyki nie jest określona.

$-$ do 1960 roku współrzędne galaktyczne ($l_\mathrm I,b_\mathrm I$), definiowane przez biegun północny $\alpha_{1900}=12\hour40\min$; $\delta_{1900}=+28\degr$, i długość galaktyczną liczono od przęciecia się płaszczyzny Galaktyki z równikiem w punkcie $\alpha_{1900}=18\hour40\min$; $\delta_{1900}=0\degr$

\newpage
$\bullet$ współrzędne równikowe $\rightarrow$ ekliptyczne $(\alpha,\delta)\rightarrow(\lambda,\beta)$:

\parbox[b]{.6\textwidth}{
$$\sin\beta=\sin\delta\cos\varepsilon-\cos\delta\sin\varepsilon\sin\alpha$$
$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}$$
$$\sin\delta=\sin\beta\cos\varepsilon+\cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda$$
$$\sin\lambda={\sin\delta-\sin\beta\cos\varepsilon\over\cos\beta\sin\varepsilon}$$
$$\cos\lambda=\cos\alpha\cos\delta/\cos\beta$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/prec.pdf}

\newpage
$\bullet$ współrzędne ekliptyczne $\rightarrow$ równikowe $ (\lambda,\beta) \rightarrow (\alpha,\delta) $:

\parbox[b]{.6\textwidth}{
$$\sin\delta=\sin\beta\cos\varepsilon+\cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda$$
$$\cos\delta=\sqrt{1-\sin^2\delta}$$
$$\sin\beta=\sin\delta\cos\varepsilon-\cos\delta\sin\varepsilon\sin\alpha$$
$$\sin\alpha={\sin\delta\cos\varepsilon-\sin\beta\over\cos\delta\sin\varepsilon}$$
$$\cos\alpha=\cos\lambda\cos\beta/\cos\delta$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/prec.pdf}
\newpage

{\bf precesja}

$-$ biegun północny obiega północny biegun ekliptyczny z okresem ok. 26\,000\,lat

$-$ punkt barana cofa się po ekliptyce (równiku) o ok. 50\fasec3/rok

$\bullet$ uproszczenia:

$-$ biegun ekliptyczny pozostaje w spoczynku ($\beta=\mathrm{const}$)

$-$ nachylenie płaszczyzny ekliptyki nie zmienia się ($\varepsilon=\mathrm{const}$)

\parbox[b]{.6\textwidth}{
$$\sin\delta=\sin\beta\cos\varepsilon+\cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda$$
$${\cos\lambda\over\cos\delta}={\cos\alpha\over\cos\beta}$$
$$\sin\beta=\sin\delta\cos\varepsilon-\cos\delta\sin\varepsilon\sin\alpha$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/prec.pdf}
$$\cos\delta{\dd\delta\over\dd t}=\cos\beta\sin\varepsilon\cos\lambda{\dd\lambda\over\dd t}$$
$${\dd\delta\over\dd t}=\sin\varepsilon\cos\alpha{\dd\lambda\over\dd t}$$
$$\sin\beta=\sin\delta\cos\varepsilon-\cos\delta\sin\varepsilon\sin\alpha$$
$$0=\cos\delta{\dd\delta\over\dd t}\cos\varepsilon+\sin\delta{\dd\delta\over\dd t}\sin\varepsilon\sin\alpha-\cos\delta\sin\varepsilon\cos\alpha{\dd\alpha\over\dd t}$$
$$\cos\delta\sin\varepsilon\cos\alpha{\dd\alpha\over\dd t}=(\cos\delta\cos\varepsilon+\sin\delta\sin\varepsilon\sin\alpha){\dd\delta\over\dd t}$$
$${\dd\alpha\over\dd t}=(\cos\varepsilon+\sin\varepsilon\sin\alpha\tan\delta){\dd\lambda\over\dd t}$$
$\bullet$ roczna zmiana współrzędych:
\begin{eqnarray*}
\Delta\alpha&\simeq&50\fasec3\cdot(\cos\varepsilon+\sin\varepsilon\sin\alpha\tan\delta)\\
\Delta\delta&\simeq&50\fasec3\cdot\sin\varepsilon\cos\alpha
\end{eqnarray*}
$\bullet$ wiekowe zmiany:\\
$p=50\fasec2564+0\fasec000222(t-1900)$\\
$\varepsilon=23\degr27\amin8\fasec26-0\fasec4684(t-1900)$

\newpage
$\bullet$ wschody i zachody obiektów

\parbox[T]{.6\textwidth}{
\begin{eqnarray*}
\sin\delta&=&\sin\phi\cos z-\cos\phi\sin z\cos A\\
\cos t&=&{\cos z-\sin\phi\sin\delta\over\cos\phi\cos\delta}\\
\sin t&=&\sin z\sin A/\cos\delta
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\cos z&=&\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos t\\
\sin A&=&\cos\delta\sin t/\sin z\\
\cos A&=&{\sin\phi\cos z-\sin\delta\over\cos\phi\sin z}
\end{eqnarray*}
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/trpar.pdf}

wschód i zachód obiektu: $z=90\degr$
\newpage
\begin{eqnarray*}
\sin\delta&=&-\cos\phi\cos A\\
\cos t&=&-{\sin\phi\sin\delta\over\cos\phi\cos\delta}\\
\sin t&=&\sin A/\cos\delta
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
0&=&\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos t\\
\sin A&=&\cos\delta\sin t\\
\cos A&=&-{\sin\delta\over\cos\phi}
\end{eqnarray*}
redukując powtarzające się wzory, pozostaje:
\begin{eqnarray*}
\cos A&=&-{\sin\delta\over\cos\phi}\\
\cos t&=&-\tan\phi\tan\delta\\
\sin A&=&\cos\delta\sin t
\end{eqnarray*}

dwa pierwsze, żeby istniało $A$ lub $t$ powinny spełniać:
$$-1\leq-{\sin\delta\over\cos\phi}\leq1$$
$$-1\leq-{\tan\delta\tan\phi}\leq1$$
czyli
$$\sin(\phi-90\degr)\leq\sin\delta\leq\sin(90\degr-\phi)$$
$$\tan(\phi-90\degr)\leq\tan\delta\leq\tan(90\degr-\phi)$$
obie funkcje $\sin$ i $\tan$ są rosące ($-90\degr\leq\delta\leq90\degr$), to:
$$\phi-90\degr\leq\delta\leq90\degr-\phi$$
np. dla $\phi=50\degr$ mamy: $-40\degr\leq\delta\leq40\degr$ -- obiekt wschodzi i zachodzi, $\delta>40$ -- nie zachodzi, $\delta<-40\degr$ -- nie wschodzi

jeśli obiekt wschodzi (zachodzi) mżemy obliczyć azymut, lub kąt godzinny wschodu (zachodu):
\begin{eqnarray*}
\cos A&=&-{\sin\delta/\cos\phi}\\
\cos t&=&-\tan\phi\tan\delta\\
\sin A&=&\cos\delta\sin t
\end{eqnarray*}
i stąd 
\begin{eqnarray*}
A&=&\pm\arccos(-\sin\delta/\cos\phi)\\
t&=&\pm\arccos(-\tan\phi\tan\delta)
\end{eqnarray*}
trzecie równanie wiąże znaki $A$ i $t$, bo $\cos\delta\ge0$

np.: czas od wschodu do zachodu obiektu:
$T_\delta=2\arccos(-\tan\phi\tan\delta)$
(w jednostkach czasu gwiazdowego!).

$\bullet$ refrakcja atmosferyczna a wschód i zachód Słońca

refrakcja przy horyzoncie wynosi $r_H\simeq35\amin$, czyli obiekt zachodzi (wschodzi) nie gdy $z=90\degr$, ale $z\simeq90\degr35\amin$

$-$ można albo rozwiązywać ,,pełne'' równania trójkąta paralaktycznego, albo
skorzystać z ,,poprawki'' na refrakcję

$$\cos z=\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos t$$
różniczkując względem $t$
$$-\sin z{\dd z\over\dd t}=-\cos\phi\cos\delta\sin t$$
i w pobliżu horyzontu ($\sin z\simeq 1$)
$$\Delta t\simeq={\Delta z\over\cos\phi\cos\delta\sin t}$$
np. dla $\phi=50\degr$, $\delta=0\degr$ i $\Delta z=35\amin$ 
$$\Delta t\simeq3\min38\sec$$

dla Słońca (i np. Księżyca) współrzędne podaje się dla środka tarczy, a np.
zachód Słońca to moment gdy cała tarcza chowa się pod horyzont

po uwzględnieniu refrakcji daje to $h_\sun\simeq-35\amin-16\amin=-51\amin$
i np. w momencie równonocy ($\delta_\sun=0\degr$) $\Delta t_\sun\simeq 51\amin/\cos(\phi)$,

a długość dnia w Krakowie -- 12\hour10\min35\sec{} {\it gwiazdowych}  (12\hour8\min35\sec{} średnich słoneczych)

$\bullet$ zmierzch i świt

zmierzch -- trwa od zachodu Słońca do momentu, gdy środek jego tarczy osiągnie wysokość $h_\sun$

świt -- trwa od momentu, gdy wysokość Słońca wynosi $h_\sun$ do jego wschodu

\begin{center}
\begin{tabular}{rl}
$h_\sun$&świt/zmierzch\\
\hline
$-6\degr$&cywilny\\
$-12\degr$&żeglarski\\
$-18\degr$&astronomiczny\\
\end{tabular}
\end{center}

i znowu, żeby dokładnie wyliczyć czas trwania zmierzchu (świtu) można skorzystać ze wzoru kosinusów
$$ \cos t={\sin h-\sin\delta\sin\phi\over\cos\delta\cos\phi}$$
podstawić za $h$ odpowiednią wysokość i odjąć od momentu zachodu (wschodu)

można użyć przybliżonego wzoru
$$\Delta t\simeq={\Delta z\over\cos\phi\cos\delta\sin t}$$
(błąd ok. 5\% dla zmierzchu/świtu astronomicznego)

Mietelski (str. 103, wzór 89) podaje:
$$\Delta t={\Delta z\over\cos\delta\cos\phi}$$
pisząc, że $\sin t$ jest bliskie jedności -- ale tylko poza bezpośrednią bliskością nocy polarnej i sezonu białych nocy

można też wyliczyć $\sin t$  w momencie zachodu:
$$\cos t=-\tan\phi\tan\delta$$
$$\sin t=\pm\sqrt{1-\cos^2 t}=\pm{\sqrt{\cos^2\phi\cos^2\delta-\sin^2\phi\sin^2\delta}\over\cos\phi\cos\delta}$$
$$=\pm{\sqrt{(\cos\phi\cos\delta-\sin\phi\sin\delta)(\cos\phi\cos\delta+\sin\phi\sin\delta)}\over\cos\phi\cos\delta}$$
$$=\pm{\sqrt{\cos(\phi+\delta)\cos(\phi-\delta)}\over\cos\phi\cos\delta}$$
i w końcu
$$\Delta t={\Delta z\over\cos\phi\cos\delta\sin t}={\pm\Delta z\over\sqrt{\cos(\phi+\delta)\cos(\phi-\delta)}}$$

$\bullet$ czas gwiazdowy

\parbox[b]{.6\textwidth}{
czasem gwiazdowym (lokalnym) nazywamy kąt godzinny punktu Barana
$$\vartheta=t_{\vernal}$$
$$t_{\vernal}=\alpha+t$$
$$\vartheta=\alpha+t$$
dla obiektu górującego $t=0$
$$\vartheta=\alpha_{t=0}$$
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/0018.png}

-- czas gwiazdowy ,,uniwersalny'' $\vartheta_0$:  $\vartheta=\vartheta_0+\lambda$\\
-- $\vartheta_0\simeq \mathrm{UTC}+24\hour\times(d-23.09)/365.242$

\newpage
$\bullet$ czas prawdziwy słoneczny

-- kąt godzinny środka tarczy Słońca $t_\sun+12\hour$ (od 1925 r.)

to czas, jaki wskazują zegary słoneczne

rektascensja Słońca rośnie ok. 4\min{} na dobę -- doba słoneczna jest dłuższa od doby gwiazdowej

$\bullet$ czas średni słoneczny

-- kąt godzinny tzw. Słońca średniego ($t_{\overline\sun}+12\hour$) -- punktu poruszającego się jednostajnie po równiku i przechodzi przez punkt Barana jednocześnie ze Słońcem prawdziwym

-- Słońce prawdziwe porusza się po ekliptyce

\parbox[b]{.6\textwidth}{
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha&=&{\sin\delta\cos\varepsilon-\sin\beta\over\cos\delta\sin\varepsilon}\\
\cos\alpha&=&\cos\lambda\cos\beta/\cos\delta\\
\sin\delta&=&\sin\beta\cos\varepsilon+\cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha_\sun&=&{\sin\delta_\sun\cos\varepsilon\over\cos\delta_\sun\sin\varepsilon}\\
\cos\alpha_\sun&=&\cos\lambda_\sun/\cos\delta_\sun\\
\sin\delta_\sun&=&\sin\varepsilon\sin\lambda_\sun
\end{eqnarray*}
}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/0020.png}
$$
{\sin\alpha_\sun\over\cos\alpha_\sun}={\sin\delta_\sun\cos\varepsilon\over\cos\lambda_\sun\sin\varepsilon}={\sin\lambda_\sun\cos\varepsilon\over\cos\lambda_\sun}$$
$$\tan\alpha_\sun=\tan\lambda_\sun\cos\varepsilon$$

-- Słońce prawdziwe porusza się po elipsie (względem Ziemi)

\includegraphics[width=\textwidth]{pic/EquationOfTimeGeom.png}
$$\lambda_\sun=\nu+\lambda_p$$
$$\tan{\nu\over2}=\sqrt{1+e\over1-e}\tan{E\over2}$$
$$M=E-e\sin E$$
$$M=2\pi n/365.242$$

$\bullet$ równanie czasu 

$$\eta=t_\sun-t_{\overline\sun}=\alpha_\sun-\alpha_{\overline\sun}$$
$$\eta\simeq -2e\sin M+\tan^2\frac{\varepsilon}{2}\,\sin(2M+2\lambda_p) $$
$$\eta\simeq -7.657\sin M+9.862\sin(2M+3.599)\,\,\mbox{[min]} $$

\includegraphics[height=\textheight]{pic/EOT.jpg}

\newpage
{\bf wyznaczanie szerokości i długości geograficznej}

$\bullet$ wyznaczanie szerokości geograficznej metodą Talcotta

-- pomiar odległości zenitalnej dwóch gwiazd górujących po obu stronach zenitu (teleskop zenitalny)

$\rightarrow$ odległości zenitalne powinny być zbliżone do siebie i małe
$$\varphi=\delta_N-z_{0N}=\delta_N-(z_N+r_N)$$
$$\varphi=\delta_S+z_{0S}=\delta_S+(z_S+r_S)$$
w sumie
$$\varphi={1\over2}(\delta_S+\delta_N)+{1\over2}(z_S-z_N)+{1\over2}(r_S-r_N)$$

$\bullet$ wyznaczanie szerokości geograficznej metodą Piewcowa

-- pomiar czasu przejścia dwóch gwiazd przez ten sam almukantarat (linia tej samej wysokości)
\begin{eqnarray*}
\sin h&=&\sin\varphi\sin\delta_1+\cos\varphi\cos\delta_1\cos(\vartheta_1-\alpha_1)=\\
&=&\sin\varphi\sin\delta_2+\cos\varphi\cos\delta_2\cos(\vartheta_2-\alpha_2)
\end{eqnarray*}
dzieląc przez $\cos\varphi$ i odejmując stronami
$$\tan\varphi={\cos\delta_1\cos(\vartheta_1-\alpha_1)-\cos\delta_2\cos(\vartheta_2-\alpha_2)\over\sin\delta_1-\sin\delta_2}$$
$\rightarrow$ jeśli gwiazdy w momencie pomiaru znajdują się symetrycznie po obu stronach pierwszego wertykału minimalizuje się błedy pomiaru czasu 

$\rightarrow$ metoda jest nieczuła na refrakcję

$\bullet$ wyznaczanie lokalnego czasu gwiazdowego

mając czas średni słoneczny $T_{\overline{\sun}}$ i równanie czasu $\eta$ 
czas prawdziwy słoneczny
$$T_\sun=T_{\overline{\sun}}+\eta$$
z drugiej strony
$$T_\sun=t_\sun+12\hour$$
a czas gwiazdowy
$$\vartheta=t_\sun+\alpha_\sun$$
mając zegar gwiazdowy ($\vartheta_z$) wyznaczanie czasu gwizdowego sprowadza się do wyznaczenia poprawki
$$u=\vartheta-\vartheta_z$$
czas gwiazdowy to rektascensja gwiazdy górującej $\vartheta=\alpha_{A=0}$, czyli
poprawkę $u$ otrzymamy notując moment $\vartheta_z$ górowania gwiazdy o znanej
rektascencsji

-- do wyznaczania momentu górowania służy koło południkowe

-- w terenie, mając teodolit poprawkę można wyznaczyć z momentów przejścia gwiazdy przez ten sam almukantarat (przed i po górowaniu)
$$u=\alpha-{\vartheta_{z_1}+\vartheta_{z_2}\over2}$$

$\rightarrow$ nie potrzeba dokładnego wyznaczenia południka

$\rightarrow$ żeby osiągnąć przyzwoitą dokładność odstęp czasu powinien być dostatecznie długi (zwykle $\vartheta_{z_2}-\vartheta_{z_1}\simeq 2\hour$)

$\rightarrow$ może się zmienić sama poprawka lub refrakcja

znając szerokość geograficzną, poprawkę można wyznaczyć z jednej obserwacji
$$u=\vartheta-\vartheta_z=t+\alpha-\vartheta_z$$
$$\cos t={\sin h-\sin\delta\sin\varphi\over\cos\delta\cos\varphi}$$
$\rightarrow$ potrzebne jest dokładne wyznaczenie wysokości $h$ -- uwzględnienie refrakcji

można zmierzyć momenty przejścia dwóch gwiazd przez ten sam almukantarat
po obu stronach południka, najlepiej w okolicy pierwszego wertykału
(metoda Zingera)
\begin{eqnarray*}
\sin h&=&\sin\varphi\sin\delta_1+\cos\varphi\cos\delta_1\cos(\vartheta_1-\alpha_1)=\\
&=&\sin\varphi\sin\delta_2+\cos\varphi\cos\delta_2\cos(\vartheta_2-\alpha_2)
\end{eqnarray*}
podstawiając 
$$ \vartheta_1=\vartheta_{z_1}+u,\quad \vartheta_2=\vartheta_{z_2}+u$$
otrzymamy równanie
\begin{eqnarray*}
&&\sin\varphi\sin\delta_1+\cos\varphi\cos\delta_1\cos(\vartheta_{z_1}-\alpha_1+u)=\\
&=&\sin\varphi\sin\delta_2+\cos\varphi\cos\delta_2\cos(\vartheta_{z_2}-\alpha_2+u)
\end{eqnarray*}
a stąd 
$$u={1\over2}(\alpha_1+\alpha_2)-{1\over2}(\vartheta_{z_1}+\vartheta_{z_2})+
{1\over15}(n-m)$$
$$\tan m={\tan{\delta_2+\delta_1\over2}\tan{\delta_2-\delta_1\over2}\over\tan\tau},\quad \sin n={\tan\varphi\tan{\delta_2-\delta_1\over2}\cos m\over\sin\tau}$$
$$\tau={1\over2}(\alpha_1-\alpha_2-\vartheta_{z_1}+\vartheta_{z_2})$$

$\bullet$ wyznaczanie długości geograficznej

od 1984 roku długość geograficzna wschodnia jest dodatnia

w związku z tym kąt godzinny obiektu w miejscu obserwacji (o długości geograficznej $\lambda$)
$$ t=t_0+\lambda$$
gdzie $t_0$ to kąt godzinny obserwowany w Greenwich, czyli sama długość geograficzna
$$\lambda=t-t_0$$
jeśli obiektem będzie Słońce średnie
$$\lambda=t_{\overline\sun}+12\hour-\mathrm{UT}=\vartheta-\alpha_{\overline\sun}+12\hour-\mathrm{UT}$$

$\bullet$ praktyczne wyznaczanie pozycji miejsca obserwacji

\parbox[b]{.6\textwidth}{
obiekt o współrzędnych ($\alpha$,$\delta$) góruje w zenicie w miejscu na Ziemi 
o współrzędnych ($\varphi_p$,$\lambda_p$)
$$\varphi_p=\delta,\quad \lambda_p=-t_0=\alpha-\vartheta_0$$
dla Słońca 
$$\varphi_p=\delta_\sun,\quad\lambda_p=-(\mathrm{UT}+\eta-12\hour)$$
}
\includegraphics[width=.3\textwidth]{pic/0021.png}

jeśli obserwator widzi obiekt w odległości zenitalnej $z$, to znajduje się
na małym kole o promieniu $z$ i środku w ($\varphi_p$,$\lambda_p$)

dwa okręgi na mapie przecinają się w dwóch punktach -- w jednym z nich 
znajduje się obserwator

\newpage

$\bullet$ {\it Global Positioning System}

+ GLObal NAvigation Satellite System (2011)\\
+ Galileo positioning system (2016--2020?)\\
+ BeiDou (Compass) navigation system (2011--2018)\\
+ Indian Regional Navigational Satellite System (2018)

kilkadziesiąt (początkowo 24) satelitów na 6 orbitach\\
-- o wysokości ok. 20\,200\,km\\
-- nachyleniu ok. 55\degr\\
-- rozmieszczonych po 60\degr{} w rektascensji węzła wstępującego

\begin{center}
\includegraphics[height=\textheight]{pic/navi_orbits.png}
\end{center}

wysyłają sygnał (1.57542\,GHz) zawierający m.in.\\
-- czas nadania sygnału ($t_i$)\\
-- pozycję ($[x_i,y_i,z_i]$)

odbiornik odbiera sygnał w chwili $t_r$ i może obliczyć swoje położenie
$[x,y,z]$ jeśli odbiera sygnał min. z 4 satelitów ($n\ge4$)
$$(x-x_i)^2 +(y-y_i)^2 +(z-z_i)^2 = (t_r+b-t_i)^2c^2, \; i=1,2,\dots,n $$
lub
$$p_i= \sqrt{(x-x_i)^2 +(y-y_i)^2 +(z-z_i)^2}-bc, \;i=1,2,...,n$$
gdzie $p_i=(t_{r}-t_i)c$ -- tzw. pseudoodległość

-- $b$ to tzw. {\it bias} -- niedokładność zegara w odbiorniku

\newpage
{\bf Orientacja na niebie -- gwiazdozbiory}

{\small
\begin{tabular}{llll}
{\it nazwa lacińska}&{\it skrót}&{\it dopełniacz}&{\it nazwa polska}\\
\hline
Andromeda & And & Andromedae & Andromeda\\
Antlia & Ant & Antliae & Pompa\\
Apus & Aps & Apodis & Ptak~Rajski\\
Aquarius & Aqr & Aquarii & Wodnik\\
Aquila & Aql & Aquilae & Orzeł\\
Ara & Ara & Arae & Ołtarz\\
Aries & Ari & Arietis & Baran\\
Auriga & Aur & Aurigae & Woźnica\\
Bootes & Boo & Bootis & Wolarz\\
Caelum & Cae & Caeli & Rylec\\
Camelopardalis & Cam & Camelopardalis & Żyrafa\\
Cancer & Cnc & Cancri & Rak\\
Canes~Venatici & CVn & Canum~Venaticorum & Psy~Gończe\\
Canis~Maior & CMa & Canis~Maioris & Wielki~Pies\\
Canis~Minor & CMi & Canis~Minoris & Mały~Pies\\
Capricornus & Cap & Capricorni & Koziorożec\\
Carina & Car & Carinae & Kil\\
Cassiopeia & Cas & Cassiopeiae & Kasjopea\\
Centaurus & Cen & Centauri & Centaur\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{llll}
Cepheus & Cep & Cephei & Cefeusz\\
Cetus & Cet & Ceti & Wieloryb\\
Chamaeleon & Cha & Chamaeleontis & Kameleon\\
Circinus & Cir & Circini & Cyrkiel\\
Columba & Col & Columbae & Gołąb\\
Coma~Berenices & Com & Come~Berenices & Warkocz~Bereniki\\
Corona~Australis & CrA & Coronae~Australis & Korona~Południowa\\
Corona~Borealis & CrB & Coronae~Borealis & Korona~Północna\\
Corvus & Crv & Corvi & Kruk\\
Crater & Crt & Crateris & Puchar\\
Crux & Cru & Crucis & Krzyż\\
Cygnus & Cyg & Cygni & Łabędź\\
Delphinus & Del & Delphini & Delfin\\
Dorado & Dor & Doradus & Złota~Ryba\\
Draco & Dra & Draconis & Smok\\
Equuleus & Equ & Equulei & Źrebię\\
Eridanus & Eri & Eridani & Erydan\\
Fornax & For & Fornacis & Piec\\
Gemini & Gem & Geminorum & Bliźnięta\\
Grus & Gru & Gruis & Żuraw\\
Hercules & Her & Herculis & Herkules\\
Horologium & Hor & Horologii & Zegar\\
Hydra & Hya & Hydrae & Hydra\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{llll}
Hydrus & Hyi & Hydri & Wąż~Wodny\\
Indus & Ind & Indi & Indianin\\
Lacerta & Lac & Lacertae & Jaszczurka\\
Leo & Leo & Leonis & Lew\\
Leo~Minor & LMi & Leonis~Minoris & Mały~Lew\\
Lepus & Lep & Leporis & Zając\\
Libra & Lib & Librae & Waga\\
Lupus & Lup & Lupi & Wilk\\
Lynx & Lyn & Lyncis & Ryś\\
Lyra & Lyr & Lyrae & Lutnia\\
Mensa & Men & Mensae & Góra~Stołowa\\
Microscopium & Mic & Microscopii & Mikroskop\\
Monoceros & Mon & Monocerotis & Jednorożec\\
Musca & Mus & Muscae & Mucha\\
Norma & Nor & Normae & Węgielnica\\
Octans & Oct & Octantis & Oktant\\
Ophiuchus & Oph & Ophiuchi & Wężownik\\
Orion & Ori & Orionis & Orion\\
Pavo & Pav & Pavonis & Paw\\
Pegasus & Peg & Pegasi & Pegaz\\
Perseus & Per & Persei & Perseusz\\
Phoenix & Phe & Phoenicis & Feniks\\
Pictor & Pic & Pictoris & Malarz\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{llll}
Pisces & Psc & Piscium & Ryby\\
Piscis~Austrinus & PsA & Piscis~Austrini & Ryba~Południowa\\
Puppis & Pup & Puppis & Rufa\\
Pyxis & Pyx & Pyxidis & Kompas\\
Reticulum & Ret & Reticuli & Sieć\\
Sagitta & Sge & Sagittae & Strzała\\
Sagittarius & Sgr & Sagittarii & Strzelec\\
Scorpius & Sco & Scorpii & Skorpion\\
Sculptor & Scl & Sculptoris & Rzeźbiarz\\
Scutum & Sct & Scuti & Tarcza~Sobieskiego\\
Serpens & Ser & Serpentis & Wąż\\
Sextans & Sex & Sextantis & Sekstant\\
Taurus & Tau & Tauri & Byk\\
Telescopium & Tel & Telescopii & Luneta\\
Triangulum & Tri & Trianguli & Trójkąt\\
Triangulum~Australe & TrA & Trianguli~Australis & Trójkąt~Południowy\\
Tucana & Tuc & Tucanae & Tukan\\
Ursa~Maior & UMa & Ursae~Maioris & Wielka~Niedźwiedzica\\
Ursa~Minor & UMi & Ursae~Minoris & Mała~Niedźwiedzica\\
Vela & Vel & Velorum & Żagiel\\
Virgo & Vir & Virginis & Panna\\
Volans & Vol & Volantis & Ryba~Latająca\\
Vulpecula & Vul & Vulpeculae & Lis\\
\end{tabular}
}

\newpage
{\bf Ruchy planet}

-- planety zmieniają swoje położenie na niebie

-- przemieszczają się w pobliżu ekliptyki

-- poruszają się ruchem prostym i wstecznym 

-- planety dolne -- dwa złączenia i maksymalne elongacje

-- planety górne -- złączenie, opozycja (przeciwstawienie) i kwadratury (stanowiska) wschodnie i zachodnie

Świat w starożytności\\
\includegraphics[height=.85\textheight]{pic/0022.png}


\begin{center}
\includegraphics[height=.85\textheight]{pic/CopernicSystem.png}
\end{center}
Mikołaj Kopernik, {\it De revolutionibus orbuim coelestium} (1543)

-- wyeliminowanie epicykli z teori ruchu planet

-- wyjaśnienie rocznego okresu w ruchach planet

dla planety dolnej $${1\over P}={1\over S}+{1\over T}, \quad P={S\over 1+S}$$
dla planety górnej $${1\over T}={1\over S}+{1\over P}, \quad P={S\over S-1}$$

\begin{center}
\includegraphics[height=.95\textheight]{pic/0023.png}
\end{center}

-- wyznaczenie odległości planet

\parbox{.5\textwidth}{dolnych\\
\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0024.png}}%
\parbox{.5\textwidth}{górnych\\
\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0025.png}}

\newpage
\parbox[b]{.4\textwidth}{
obserwacje Tychona Brahe (XVI w) i Johannesa Keplera (XVI/XVII)
}
\includegraphics[width=.3\textwidth]{pic/0031.png}

{\bf prawa Keplera}

Johannes Kepler, {\it Astronomia nova} (1609)

-- planety (Mars) nie poruszają się po okręgach ale elipsach ze Słońcem w jednym z ognisk

-- promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu

\begin{center}
\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/0032.png}
\end{center}

-- kwadraty okresów gwiazdowych planet są proporcjonalne do sześcianów półosi wielkich ich orbit $ P^2\propto a^3$

{\bf prawo powszechnego ciążenia}

Issac Newton, {\it Philosophi\ae{} Naturalis Principia Mathematica} (1687)

-- siła przyciągająca dwa ciała jest proporcjonalna do ich mas i odwrotnie do kwadratów odległości
$$F=-G{M m\over r^2}$$
-- stała grawitacji (Cavendisha) $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}$

\newpage

{\bf zagadnienie dwóch ciał}

siła odśrodkowa w ruchu ciała po okręgu $$F_o=m\omega^2r$$ gdzie $\omega=2\pi/T$, jest równoważona przez dośrodkową (siłę grawitacyjną) $$F_d=GMm/r^2$$
(poprawniej -- siłą powodującą ruch po okręgu jest $F_d$)

po porównaniu obu wyrażeń mamy $$GMm/r^2=m\omega^2/r=4\pi^2mr/T^2$$
czyli $$GMT^2=4\pi^2r^3$$

$\bullet$ ogólnie

rozważmy ruch ciała o masie $m$ i Słońca (o masie $M$) 

w dowolnym układzie inercjalnym ruch ciała opisuje równanie
$${\dd^2\vec x\over\dd t^2}=-{GM\over r^2}\cdot{\vec x-\vec x_\sun\over r}$$
a ruch Słońca
$${\dd^2\vec x_\sun\over\dd t^2}={Gm\over r^2}\cdot{\vec x-\vec x_\sun\over r}$$
gdzie $r=\sqrt{(x-x_\sun)^2+(y-y_\sun)^2+(z-z_\sun)^2}$

zajmijmy się ruchem względem Słońca, czyli zamienimy $$\vec x-\vec x_\sun\rightarrow\vec x$$  wtedy
$${\dd^2\vec x\over\dd t^2}=-G(M+m){\vec x\over r^3}$$
lub
\begin{eqnarray*}
{\dd^2x\over\dd t^2}&=&-G(M+m){x\over r^3}\\
{\dd^2y\over\dd t^2}&=&-G(M+m){y\over r^3}\\
{\dd^2z\over\dd t^2}&=&-G(M+m){z\over r^3}
\end{eqnarray*}
i teraz $$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

są to trzy równania drugiego stopnia, po scałkowaniu dostaniemy rozwiązanie w postaci $\vec x(t)$, przy czym wprowadzimy sześć stałych

jeśli pomnożyć pierwsze równanie przez $-y$, drugie przez $+x$ to 
$$x{\dd^2y\over\dd t^2}-y{\dd^2x\over\dd t^2}=0$$
lewe strony to pochodne, więc
$$x{\dd y\over\dd t}-y{\dd x\over\dd t}=c_3$$
analogicznie otrzymamy
$$y{\dd z\over\dd t}-z{\dd y\over\dd t}=c_1$$
$$z{\dd x\over\dd t}-x{\dd z\over\dd t}=c_2$$
mnożąc je przez kolejno $z$, $x$ i $y$ i dodając mamy
$$c_1x+c_2y+c_3z=0$$
czyli ruch w płaszczyźnie przechodzącej przez Słońce

jeśli założymy że ruch odbywa się w płaszczyźne $(x,y)$, to $z=0$ i $\dd z/\dd t=0$, oraz
$$x{\dd y\over\dd t}-y{\dd x\over\dd t}=c$$
wyrażając $x$ i $y$ we współrzędnych biegunowych
$$x=r\cos\vartheta, \quad y=r\sin\vartheta$$
czyli
$${\dd x\over\dd t}={\dd r\over\dd t}\cos\vartheta-r\sin\vartheta{\dd\vartheta\over\dd t}$$
$${\dd y\over\dd t}={\dd r\over\dd t}\sin\vartheta+r\cos\vartheta{\dd\vartheta\over\dd t}$$
to
$$x{\dd y\over\dd t}-y{\dd x\over\dd t}=r^2{\dd\vartheta\over\dd t}=c$$
czyli szybkość polowa jest stała (II prawo Keplera)

wróćmy do równań ruchu
\begin{eqnarray*}
{\dd^2x\over\dd t^2}&=&-G(M+m){x\over r^3}\\
{\dd^2y\over\dd t^2}&=&-G(M+m){y\over r^3}
\end{eqnarray*}
mnożąc pierwsze przez $\dd x/\dd t$, drugie przez $\dd y/\dd t$ mamy
$${\dd^2x\over\dd t^2}\cdot{\dd x\over\dd t}+{\dd^2y\over\dd t^2}\cdot{\dd y\over\dd t}=-G(M+m){1\over r^3}\left(x{\dd x\over\dd t}+y{\dd y\over\dd t}\right)$$
lewa strona to pochodna sumy
$$\left({\dd x\over\dd t}\right)^2+\left({\dd y\over\dd t}\right)^2$$
a z prawej strony jest pochodna promienia wodzącego
$$r^2=x^2+y^2,\quad r{\dd r\over\dd t}=\left(x{\dd x\over\dd t}+y{\dd y\over\dd t}\right)$$
czyli
$${1\over2}\cdot{\dd\over\dd t}\left[\left({\dd x\over\dd t}\right)^2+\left({\dd y\over\dd t}\right)^2\right]=-G(M+m){1\over r^2}{\dd r\over\dd t}$$
i po scałkowaniu
$$\left({\dd x\over\dd t}\right)^2+\left({\dd y\over\dd t}\right)^2={V^2}={2G(M+m)\over r}+h$$
gdzie $h$ jest całką energii

spróbujemy wyeliminować jawną zależność od czasu i wyznaczyć trajektorię ruchu
w biegunowym układzie współrzędnych
$$\left({\dd x\over\dd t}\right)^2+\left({\dd y\over\dd t}\right)^2=
\left({\dd r\over\dd t}\right)^2+r^2\left({\dd\vartheta\over\dd t}\right)^2=
{2G(M+m)\over r}+h$$
wiemy, że prędkość polowa $r^2\dd\vartheta/\dd t=c$, czyli
$${\dd\vartheta\over\dd t}={c\over r^2}$$
zaś
$${\dd r\over\dd t}={\dd r\over\dd\vartheta}\cdot{\dd\vartheta\over\dd t}$$
to 
$$\left({\dd r\over\dd\vartheta}\cdot{\dd\vartheta\over\dd t}\right)^2+r^2\left({\dd\vartheta\over\dd t}\right)^2=
{c^2\over r^4}\left({\dd r\over\dd\vartheta}\right)^2+{c^2\over r^2}=
{2G(M+m)\over r}+h$$
wprowadźmy zmienną
$$u={c\over r}-{G(M+m)\over c}$$
wtedy
$${\dd u\over\dd\vartheta}=c{\dd\left(1\over r\right)\over\dd\vartheta}=-{c\over r^2}\cdot{\dd r\over\dd\vartheta}$$
i mamy
$$\left({\dd u\over\dd\vartheta}\right)^2+ {c^2\over r^2}= {2G(M+m)\over r}+h$$
czyli
$$\left({\dd u\over\dd\vartheta}\right)^2=h+\left[G(M+m)\over c\right]^2-u^2=b^2-u^2$$
gdzie $b^2=h+[G(M+m)/c]^2$

po spierwiastkowaniu
$$\dd\vartheta=\pm{\dd u\over\sqrt{b^2-u^2}}$$
i całkowaniu (wybierając np. ujemny pierwiastek)
$$\vartheta=\arccos{u\over b}+\omega$$
$$u=b\cos(\vartheta-\omega)$$
$\omega$ jest piątą stałą całkowania

podstawiając wyrażenia na $u$ i $b$
$${c\over r}-{G(M+m)\over c}=\sqrt{{G^2(M+m)^2\over c^2}+h}\cdot\cos(\vartheta-\omega)$$
i w końcu 
$$r={{c^2\over G(M+m)}\over1+\sqrt{1+{c^2h\over G^2(M+m)^2}}\cdot\cos(\vartheta-\omega)}$$
jeśli oznaczymy
$$p={c^2\over G(M+m)}$$
$$e=\sqrt{1+{c^2h\over G^2(M+m)^2}}$$
$$v=\vartheta-\omega$$
to otrzymamy równanie cięcia stożkowego (I prawo Keplera)
$$r={p\over1+e\cos v},\quad p=a(1-e^2)$$
same stałe całkowania 
$$c=\sqrt{G(M+m)p}=\sqrt{G(M+m)a(1-e^2)}$$
$$h=-{G^2((M+m)^2(1-e)^2\over c^2}={G(M+m)(1-e^2)\over p}=-{G(M+m)\over a}$$
można też wyrazić wartość prędkości
$$V^2={2G(M+m)\over r}-{G(M+m)\over a}=G(M+m)\left({2\over r}-{1\over a}\right)$$
znając odległość ciała od masy centralnej i półoś orbity

wróćmy do równania
$$\left({\dd r\over\dd t}\right)^2+r^2\left({\dd\vartheta\over\dd t}\right)^2=
{2G(M+m)\over r}+h$$
czyli
$$\left({\dd r\over\dd t}\right)^2={2G(M+m)\over r}+h-{c^2\over r^2}$$
podstawiając $c$ i $h$
$$\left({\dd r\over\dd t}\right)^2={2G(M+m)\over r}-{G(M+m)\over a}-{G(M+m)a(1-e^2)\over r^2}$$
$$\left({\dd r\over\dd t}\right)^2=G(M+m)\left[{2\over r}-{1\over a}-{a(1-e^2)\over r^2}\right]$$
wyliczając $\dd t$
$$\dd t={\sqrt ar\dd r\over\sqrt{G(M+m)}\sqrt{2ar-r^2-a^2(1-e^2)}}={\sqrt ar\dd r\over\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a^2e^2-(a-r)^2}}$$
$$\dd t=-{\sqrt a[a-(a-r)]\dd(a-r)\over\sqrt{G(M+m)}\sqrt{a^2e^2-(a-r)^2}}=$$
$$={-a\sqrt a\over\sqrt{G(M+m)}}\cdot{\dd(a-r)\over\sqrt{a^2e^2-(a-r)^2}}+
{\sqrt a\over\sqrt{G(M+m)}}\cdot{(a-r)\dd(a-r)\over\sqrt{a^2e^2-(a-r)^2}}$$
to można scałkować
$$(t-t_0)=\pm{a^{3/2}\over\sqrt{G(M+m)}}\left[\arccos\left(a-r\over ae\right)-e\sqrt{1-\left(a-r\over ae\right)^2}\right]$$
podstawiając $${a-r\over ae}=\cos E$$
dostaniemy równanie Keplera $$E-e\sin E={\sqrt{G(M+m)}\over a^{3/2}}(t-t_0)$$
po jednym okresie obiegu $T=t-t_0$ anomalia średnia $E$ obiegnie jeden okres ($2\pi$) 
$$2\pi={\sqrt{G(M+m)}\over a^{3/2}}T$$
a stąd wprost III prawo Keplera
$${T^2\over a^3}={4\pi^2\over G(M+m)}$$

\newpage
% elementy orbity
$\bullet$ parametry orbity

\parbox[b]{.3\textwidth}{
$a$ -- półoś\\
$e$ -- momośród\\
$i$ -- inklinacja\\
$\Omega$ -- długóść węzła (wstępującego)\\
$\omega$ -- anomalia perycentrum\\
$t_0$ -- moment perycentrum}
\includegraphics[height=.7\textheight]{pic/0030.png}

$-$ ich związek z całkami ruchu
\begin{eqnarray*}
y{\dd z\over\dd t}-z{\dd y\over\dd t}&=&c_1\\
z{\dd x\over\dd t}-x{\dd z\over\dd t}&=&c_2\\
x{\dd y\over\dd t}-y{\dd x\over\dd t}&=&c_3
\end{eqnarray*}
$$c=\sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}$$
$$c=\sqrt{G(M+m)p}=\sqrt{G(M+m)a(1-e^2)}$$
$$\cos i=c_3/c$$
$$\sin\Omega={c1\over\sqrt{c_1^2+c_2^2}},\quad\cos\Omega={c2\over\sqrt{c_1^2+c_2^2}}$$
całka enegii
$${V^2}={2G(M+m)\over r}+h,\quad
V^2=\left({\dd x\over\dd t}\right)^2+\left({\dd y\over\dd t}\right)^2+\left({\dd z\over\dd t}\right)^2$$
$$h=-{G^2((M+m)^2(1-e)^2\over c^2}={G(M+m)(1-e^2)\over p}=-{G(M+m)\over a}$$
pozostałe całki ruchu
$${c\over r}-{G(M+m)\over c}=\sqrt{{G^2(M+m)^2\over c^2}+h}\cdot\cos(\vartheta-\omega)$$
$$E-e\sin E={\sqrt{G(M+m)}\over a^{3/2}}(t-t_0)$$
\newpage
$\bullet$ wyznaczanie orbit

-- sześć niewiadomych -- potrzeba sześć równań

-- np. $x(t_0)=x_0, \ldots$ i $\dd x/\dd t|_{t_0}=v_{x_0}, \ldots$

-- w praktyce (min.) 3 obserwacje $(\alpha,\delta)$ i np. metoda Gaussa

-- dla komet można uprościć rachunki zakładając orbitę paraboliczną

\newpage
$\bullet$ zagadnienie trzech ciał

-- 3 wymiary $\times$ 3 ciała $\times$ 2 rząd równania $=$ 18 stałych  

-- dostępnych jedynie 10 całek ruchu

-- rozwiązywalne jedynie w postacie szeregów

-- konieczność rozwiązań numerycznych

\newpage
$\bullet$ ograniczone zagadnienie trzech ciał

\parbox[b]{.4\textwidth}{
-- trzecie ciało jest ,,lekkie'' -- można pominąć jego wpływ na pozostałe dwa

-- ruch w płaszczyźnie

-- rozwiązania Lagrange'a
}
\includegraphics[width=.6\textwidth]{pic/Lagrange.png}

\newpage
w Układzie Słonecznym dominująca jest masa Słońca i z powodzeniem można
stosować rachunki perturbacyjne 

-- wpływ innych ciał układu wprowadza sie jako mała poprawka w zagadnieniu
dwóch ciał

-- zaburzenia są zwykle okresowe, więc poprawki wprowadza się jako szeregi 
trygonometryczne

-- odkrycie Neptuna (Galle 1846) w oparciu o obliczenia Leverriere -- spektakularny sukces mechaniki nieba

-- współcześnie stosuje się modelowanie numeryczne

\newpage
% pseudosily - odsrodkowa, Coriolisa
{\bf dynamika w układzie obracającym się}

\parbox[b]{.6\textwidth}{
$$
\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\gamma&\sin\gamma&0\\-\sin\gamma&\cos\gamma&0\\0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$
ale teraz $\gamma=\omega t$
}%
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/0006.png}

$\bullet$ prędkość w układzie rotującym
{\small$${\dd\over\dd t}\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\omega t&\sin\omega t&0\\-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\0&0&1\end{array}\right)
{\dd\over\dd t}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)+
\omega\left(\begin{array}{ccc}-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\-\cos\omega t&-\sin\omega t&0\\0&0&0\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$}
ale 
\begin{eqnarray*}
-x\sin\omega t+y\cos\omega t&=&y'\\
-x\cos\omega t-y\sin\omega t&=&-x'
\end{eqnarray*}
czyli
{\small$$\omega\left(\begin{array}{ccc}-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\-\cos\omega t&-\sin\omega t&0\\0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}y'\omega\\-x'\omega\\0\end{array}\right)
$$}

spróbujmy to uogólnić na obrót wokół dowolnej osi
$\vec\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$

zauważmy, że jeśli $\vec\omega=(0,0,\omega)$, to

{\small$$\left(\begin{array}{c}y'\omega\\-x'\omega\\0\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}y'\omega_z-z'\omega_y\\z'\omega_x-x'\omega_z\\x'\omega_y-y'\omega_x\end{array}\right)
$$}

a po lewej stronie mamy  iloczyn wektorowy $\vec{x'}\times\vec\omega$

oznaczając 
{\small$$
\vec x=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right),\quad
\vec v={\dd\over\dd t}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$}
macierz obrotu $O(\vec\omega t)$
i wielkości w układzie obracającym się
$$\vec{x'}=O(\vec\omega t)\vec x,\quad \vec{v'}=O(\vec\omega t)\vec v$$
to w końcu
$${\dd\vec{x'}\over\dd t}=\vec{v'}+\vec{x'}\times\vec\omega$$

\newpage
$\bullet$ przyśpieszenie

zacznijmy tak jak poprzednio
{\small$$ {\dd^2\over\dd t^2}\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\cos\omega t&\sin\omega t&0\\-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\0&0&1\end{array}\right)
{\dd^2\over\dd t^2}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)+$$}
{\small$$
+2\omega\left(\begin{array}{ccc}-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\-\cos\omega t&-\sin\omega t&0\\0&0&0\end{array}\right)
{\dd\over\dd t}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
-\omega^2\left(\begin{array}{ccc}\cos\omega t&\sin\omega t&0\\-\sin\omega t&\cos\omega t&0\\0&0&0\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$$}

jeśli w układzie $(x,y,z)$ ciało spoczywa i nie przyśpiesza
$${\dd\over\dd t}\vec x=0,
\quad{\dd^2\over\dd t^2}\vec x=0$$
to  w układzie $(x',y',z')$ pojawia się przyśpieszenie o wartości
$$\sqrt{{\dd^2x'\over\dd t^2}+{\dd^2y'\over\dd t^2}}=
\omega^2\sqrt{(x'^2+y'^2)}$$
jeśli $\vec v\ne0$ , pojawia się dodatkowy składnik w przyśpieszeniu

to też warto uogólnić,  oznaczmy jeszcze 
$$\vec a={\dd^2\vec x\over\dd t^2}, \quad \vec{a'}=O(\vec\omega t)\vec a$$
i zapiszmy równainie
$${\dd\vec{x'}\over\dd t}=\vec{v'}+\vec{x'}\times\vec\omega$$
w postaci
$${\dd[O(\vec\omega t)\vec{x}]\over\dd t}=O(\vec\omega t)\vec{v}+[O(\vec\omega t)\vec{x}]\times\vec\omega$$
i jeszcze 
$${\dd[O(\vec\omega t)\vec{x}]\over\dd t}=O(\vec\omega t){\dd\vec{x}\over\dd t}+[O(\vec\omega t)\vec{x}]\times\vec\omega$$
ponieważ $\vec x$ jest tu dowolnym wektorem to jest to przepis na różniczkowanie ,,obracanego'' wektora, więc
$${\dd^2\vec{x'}\over\dd t^2}={\dd\over\dd t}\left\{{\dd[O(\vec\omega t)\vec{x}]\over\dd t}\right\}=
{\dd\over\dd t}\left\{O(\vec\omega t)\vec{v}+[O(\vec\omega t)\vec{x}]\times\vec\omega\right\}= $$
$$={\dd[O(\vec\omega t)\vec{v}]\over\dd t}+{\dd[O(\vec\omega t)\vec{x}]\over\dd t}\times\vec\omega=O(\vec\omega t){\dd\vec v\over\dd t}+[O(\vec\omega t)\vec v]\times\vec\omega+ $$
$$+\{O(\vec\omega t)\vec{v}+[O(\vec\omega t)\vec{x}]\times\vec\omega\}\times\vec\omega= $$
$$=O(\vec\omega t)\vec a+2[O(\vec\omega t)\vec{v}]\times\omega+\{[O(\vec\omega t)\vec{x}]\times\vec\omega\}\times\vec\omega$$
wyrażając to w wielkościach w układzie rotującym
$${\dd^2\vec{x'}\over\dd t^2}=\vec{a'}+2\vec{v'}\times\vec\omega+(\vec{x'}\times\vec\omega)\times\vec\omega$$
mamy ogólną postać pseudosiły Coriolisa i odśrodkowej, które pojawiają się w opisie dynamiki w układzie rotującym

{\bf grawitacja ziemska}
% grawitacja na Ziemi

masa:  $M_\oplus=5.9736\cdot10^{24}$\,kg\\
średni promień:  $r_\oplus=6.371\cdot10^6$\,m\\
stła grawitacji:  $G=6.67384\cdot10^{-11}$\,$\mathrm{Nm^2\over kg^2}$

średnie przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni
$$g={GM_\oplus\over {r_\oplus}^2}=9.822\,\mathrm{m\over s^2}$$
promień biegunowy: $r_b=6.3568\cdot10^6$\,m\\
promień równikowy: $r_r=6.3781\cdot10^6$\,m

przyśpieszenie grawitacyjne na biegunie:
$$g_b={GM_\oplus\over {r_b}^2}=9.8659\,\mathrm{m\over s^2}$$
-- na rowniku:
$$g_r={GM_\oplus\over {r_r}^2}=9.8000\,\mathrm{m\over s^2}$$
ale na równiku ciężar zmniejsza siła odśrodkowa $a_r=\omega^2r_r$\\
dla $\omega=7.29246\cdot10^{-5}\,\mathrm{rad\over s}$ 
$$a_r=0.0339\,\mathrm{m\over s^2}$$
w sumie przyśpieszenie na równiku:
$$g_r-a_r=9.7661\,\mathrm{rad\over s}$$

przyśpieszenie normalne (dla $\varphi=45\fdegr5$)\\
(3 Konferencja Miar i Wag 1901)
$$g_n = 9.80665\,\mathrm{m\over s^2}$$

Wikipedia podaje zależność od szerokości geograficznej i wysokości n.p.m.
\begin{eqnarray*}
g_{\varphi}&\approx&9.780318 \left(1+0.0053024\sin^2\varphi-0.0000058\sin^2 2\varphi\right)-\\
&-& 3.086 \cdot 10^{-6}h \left[\mathrm{m\over s^2}\right]
\end{eqnarray*}
(w angielskiej wersji -- że uwzględniono wypór powietrza)

$\bullet$ zależność od wysokości n.p.m.

$$g(h)={GM\over(r+h)^2}$$
ponieważ (zwykle) $h\ll r$, możemy rozwinąc zależność $g(h)$ w szereg Taylora
wokól $h=0$ i zachować wyraz liniowy w $h$
$$g(h)\approx{GM\over r^2}-2\cdot{GM\over r^3}\cdot h=g_0\left(1-2{h\over r}\right)$$

$\bullet$ wpływ innych ciał niebieskich

$-$ Słońce:

masa: $M_\sun=1.9891\cdot10^{30}$\,kg\\
odległość: $d_\sun=1.496\cdot10^{11}$\,m

przyśpieszenie grawitacyjne pochodzące od Słońca:
$$g_\sun={GM_\sun\over d_\sun^2}\approx 6\cdot10^{-3}\,\mathrm{m\over s^2}$$

$-$ Księżyc:

masa: $M_{\leftmoon}=7.3477\cdot10^{22}$\,kg\\
odległość: $d_{\leftmoon}=3.844\cdot10^{8}$\,m

przyśpieszenie grawitacyjne pochodzące od Księżyca:
$$g_{\leftmoon}={GM_{\leftmoon}\over d_{\leftmoon}^2}\approx 3\cdot10^{-5}\,\mathrm{m\over s^2}$$



% predkosci kosmiczne
$\bullet$ prędkości kosmiczne

$\cdot$ pierwsza prędkość kosmiczna

-- minimalna prędkość z jaką można pozostać na orbicie Ziemi, startując z jej powierzchni

- najmniejszą energię ma ciało na orbicie kołowej

- żeby pruszać się po okręgu w odległości od środka Ziemi równej jej promieniowi siłą odśrokowa musi równoważyć przyciąganie grawitacyjne
$$\omega^2r_\oplus={GM_\oplus\over r_\oplus^2}$$
ale $\omega r=v$, więc
$${v_I^2\over r}={GM_\oplus\over r_\oplus^2}$$
czyli pierwsza prędkość kosmiczna
$$v_I=\sqrt{GM_\oplus\over r_\oplus}\approx7.91\,\mathrm{km\over s}$$

$\cdot$ druga prędkość kosmiczna

-- minimalna prędkość z jaką można wydostać się z pola grawitacyjnego Ziemi, startując z jej powierzchni

- całka energii ciała na orbicie stycznej do powierzchni Ziemi wynosi zero
$$ {-GM_\oplus\over r_\oplus}+{v_{II}^2\over 2}=0$$
czyli druga prędkość kosmiczna
$$v_{II}=\sqrt{2GM_\oplus\over r_\oplus}\approx11.2\,\mathrm{km\over s}$$

$\cdot$ "kolejne" prędkości kosmiczne

-- trzecia -- prędkość ucieczki z pola grawitacyjnego Słońca startując z Ziemi
$$\tilde v_{III}=\sqrt{2GM_\sun\over d_\sun}\approx42\,\mathrm{km\over s}$$
ale na orbicie Ziemia ma prędkość
$$v_\oplus={GM_\sun\over d_\sun^2\omega_\oplus}\approx29.8\,\mathrm{km\over s}$$
gdzie prędkośc kątowa na orbicie $\omega_\oplus=1.99\cdot10^{-7}\,\mathrm{rad\over s}$ 

wystrzeliwując ciało z Ziemi w kierunku ruchu orbitalnego wystarczy nadać mu prędkość $$v_{III}=16.7\,\mathrm{km\over s}$$

-- czwarta -- prędkość ucieczki z pola grawitacyjnego Galaktyki 
$$\tilde v_{IV}=350\,\mathrm{km\over s}$$
uwzględniając prędkość Słońca wokół centrum Galaktyki
$$v_{IV}=130\,\mathrm{km\over s}$$

$\bullet$ promień Schwarzschilda

$\cdot$ zauważmy, że prędkość ucieczki rośnie wraz z maleniem rozmiaru obiektu

$\cdot$ rozmiar obiektu, z powierzchni którego prędkość ucieczki jest równa prędkości światła
$$r_s={2GM\over c^2}$$
dla Ziemi
$$r_{s_\oplus}=8.9\,\mathrm{mm}$$
dla Słońca
$$r_{s_\sun}=2.9\,\mathrm{km}$$
obliczmy gęstość obiektu o masie $M$ i promieniu $r_s$
$$\rho={3M\over4\pi r_s^3}={3c^6\over32\pi G^3}\cdot{1\over M^2}$$ 
dla masy Słońca: $1.8\cdot10^{19}\,\mathrm{kg\over m^3}$

dla masy Ziemi: $2.1\cdot10^{30}\,\mathrm{kg\over m^3}$


%promien Schwarzschilda

\newpage
% plywy
{\bf zjawiska w układzie Ziemia -- Księżyc}

$\bullet$ pływy

przeanalizujmy przyśpieszenie jakie nadaje Księżyc ($L$) na punkty $A$ i $B$ na powierzcni Ziemi względem jej środka $T$

\parbox[b]{.3\textwidth}{
$$a_A={Gm\over(D-R)^2}$$
$$a_B={Gm\over(D+R)^2}$$
$$a_T={Gm\over D^2}$$
}
\includegraphics[width=.7\textwidth]{pic/0033.png}

\begin{eqnarray*}
a_A-a_T&=&Gm\left[{1\over(D-R)^2}-{1\over D^2}\right]=\\
&=&Gm\left[\left({1\over D^2}+2R{1\over D^3}+3R^2{1\over D^4}+\ldots\right)-{1\over D^2}\right]\approx\\
&\approx&{Gm\over D^2}\left({2R\over D}+{3R^2\over D^2}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
a_T-a_B&=&Gm\left[{1\over D^2}-{1\over(D+R)^2}\right]=\\
&=&Gm\left[{1\over D^2}-\left({1\over D^2}-2R{1\over D^3}+3R^2{1\over D^4}+\ldots\right)\right]\approx\\
&\approx&{Gm\over D^2}\left({2R\over D}-{3R^2\over D^2}\right)
\end{eqnarray*}
z dokładnością do liniowego rzędu w $R/D$:
$$\Delta a=a_A-a_T=a_T-a_B={2GmR\over D^3}$$
jeśli podstawimy dane dla Księżyca
$$\Delta a_{\leftmoon}={2GM_{\leftmoon}R_\oplus\over d_{\leftmoon}^3}=5.5\cdot10^{-7}\,\mathrm{m\over s^2}$$
a dla Słońca
$$\Delta a_{\sun}={2GM_{\sun}R_\oplus\over d_{\sun}^3}=2.5\cdot10^{-7}\,\mathrm{m\over s^2}$$
przy pełni i nowiu efekty się sumują, przy kwadrach częściowo znoszą

\newpage
$\bullet$ warunki występowania zaćmień

\includegraphics[width=\textwidth]{pic/0034.png}

-- zaćmienie Księżyca

$\cdot$ graniczna szerokość ekliptyczna dla zaćmienia
$$ \beta_1=\varangle L_1TP=\varangle DTP+\varangle L_1TD$$
\parbox[b]{.5\textwidth}{
\begin{eqnarray*}
\beta_1&=&\varangle DTP+\varrho_{\leftmoon}=\\
&=&\pi_{\leftmoon}-\varangle DPT+\varrho_{\leftmoon}=\\
&=&\pi_{\leftmoon}-\varrho_\sun+\pi_\sun+\varrho_{\leftmoon}
\end{eqnarray*}
}
\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/zack.pdf}

dla zaćmienia załkowitego
$$\beta_2=\pi_{\leftmoon}+\pi_\sun-\varrho_\sun-\varrho_{\leftmoon}$$
-- zaćmienie Słońca

$\cdot$ graniczna szerokość ekliptyczna dla zaćmienia
$$\beta_3=\varangle L_2TS=\varangle STA+\varangle ATC+\varangle CTL_2$$

\parbox[b]{.5\textwidth}{
\begin{eqnarray*}
\beta_3&=&\varrho_\sun+\varangle ATC+\varrho_{\leftmoon}=\\
&=&\varrho_\sun+\pi_{\leftmoon}-\pi_\sun+\varrho_{\leftmoon}
\end{eqnarray*}
}
\includegraphics[width=.5\textwidth]{pic/zacs.pdf}

i dla zaćmienia całkowitwgo
$$\beta_4=\varrho_\sun+\pi_{\leftmoon}-\pi_\sun-\varrho_{\leftmoon}$$
podstawiając średnie wartości liczbowe

\begin{center}
\hspace{0.5cm} \begin{tabular}{cccc}
$\pi_\sun$&$\pi_{\leftmoon}$&$\varrho_\sun$&$\varrho_{\leftmoon}$\\
\hline
0\famin1&56\famin8&16\famin0&15\famin5
\end{tabular}
\end{center}

otrzymamy

\begin{center}
\hspace{0.5cm} \begin{tabular}{cccc}
$\beta_1$& $\beta_2$& $\beta_3$& $\beta_4$\\
\hline
56\famin4&40\famin9&88\famin1&72\famin6
\end{tabular}
\end{center}

Księżyc porusza się po orbicie o inklinacji $i=5\fdegr15$, i możemy obliczyć odległość w  długości ekliptycznej Księżyca od węzła
$$\sin\Delta\lambda=\tan\beta\cot i$$
to uwzględniając zmienność inklinacji $i$, średnic $\varrho_\sun$ i $\varrho_{\leftmoon}$ i paralaks $\pi_\sun$ i $\pi_{\leftmoon}$ mamy

- dla zaćmień Księżyca: $\Delta\lambda_\mathrm{min}=9\degr30\amin$ i $\Delta\lambda_\mathrm{max}=12\degr15\amin$

- dla zaćmień Słońca: $\Delta\lambda_\mathrm{min}=15\degr21\amin$ i $\Delta\lambda_\mathrm{max}=18\degr31\amin$

$\cdot$ podczas zaćmień Słońce też jest w okolicy węzła orbity Księżyca\\
$\cdot$ węzły obiegają ekliptykę raz na 18.6 lat\\
$\cdot$ czas pomiędzy kolejnymi przejściami przez ten sam węzeł orbity Księżyca wynosi tzw. \emph{rok zaćmieniowy}, który wynosi średnio 346.6200 dni\\
$\cdot$ w ciągu miesiąca synodycznego Słońce przesuwa się względem węzła orbity o kąt $29.53\cdot360\degr/346.62=30\degr40\amin$\\
- mniejsze od minimalnego zakresu $2\Delta\lambda_\mathrm{min}(30\degr42\amin)$ dla Słońca\\
$\rightarrow$ min. 1 zaćmienie Słońca\\
- większe od maksymalnego zakresu $2\Delta\lambda_\mathrm{min}(24\degr30\amin)$ dla Księżyca\\
$\rightarrow$ max. 1 zaćmienie Księżyca\\
przy jednym przejściu Słońca przez węzeł orbity Księżyca

-- w sumie może być 3--5 zaćmień Słońca i 0--3 zaćmienia Księżyca

$\cdot$ znany w starożytności okres \emph{saros} (18 lat i 11(10) dni) to\\
- 223 miesiące synodyczne\\
- 242 miesiące smocze\\
- $\sim$19 lat zaćmieniowych

po upływie okresu saros zaćmienia powtarzają się, ale Słońce przesuwa się o 28\amin{} względem węzła, więc zaćmienia są tylko podobne do siebie

$\bullet$ inne zjawiska typu zaćmień

-- zakrycia gwiazd przez Księżyc\\
-- zakrycia gwiazd przez planetoidy\\
-- tranzyty Merkurego (2032) i Wenus (2117)

\newpage
{\bf wyznaczanie odległości w astronomii}

\parbox[b]{.4\textwidth}{
\begin{itemize}
 \item metody geometryczne
 \begin{itemize}
  \item[--]pomiar odległości
  \item[--]pomiar prędkości
 \end{itemize}
 \item świece standardowe 
 \item prawo Hubbla
\end{itemize}}\hfill%
\includegraphics[width=.55\textwidth]{pic/candles.jpg}

$\bullet$ metody geometryczne

\begin{itemize}
 \item[--] z ruchów obiektów w Układzie Słonecznym + prawa Keplera $\rightarrow$ odległości względne (np. w jednostkach astronomicznych)
 \item[--] kluczowe jest wyznaczenie jednostki
 \begin{itemize}
  \item[$\rightarrow$] paralaksa geocentryczna (Księżyc, bliskie planetoidy)
  \item[$\rightarrow$] tranzyty planet dolnych
  \item[$\rightarrow$] aberracja światła gwiazd
  \item[$\rightarrow$] pomiary radarowe
 \end{itemize}
 \item[--] ruchy ciał w innych ,,układach planetarnych''
 \begin{itemize}
  \item[$\rightarrow$] układ Jowisza
  \item[$\rightarrow$] gwiazdy wizualnie wielokrotne, zaćmnieniowe
  \item[$\rightarrow$] ruch materii w dżetach
 \end{itemize}
 \item[]\parbox[b]{.45\textwidth}{
 \begin{itemize}
  \item[$\rightarrow$] ruch obłoków molekularnych wokół jądra (gwiazdy, centrum galaktyki) -- np. M\,106, NGC\,4258
 \end{itemize}}\hfill%
\includegraphics[width=.45\textwidth]{pic/n4258.png}
 \item[--] kolektywne ruchy gwiazd -- gromady otwarte (Hiady)
 \item[--] paralaksa (heliocentyczna)
 \item[--] kwazary soczewkowane grawitacyjnie -- opóźnienie zmian jasności różnych obrazów
 \item[]\begin{center}
\includegraphics[width=.29\textwidth]{pic/quasar.jpg}
\includegraphics[width=.35\textwidth]{pic/timedelay.jpg}
\end{center}
 \item[--] efekt Sunyaeva-Zeldowicha w gromadach galaktyk -- oddziaływanie gorącego gazu na promieniowanie mikrofalowe tła -- modyfikacja widma CMB zależy of rozmiaru liniowego gromady
\end{itemize}

$\bullet$ świece standardowe

-- wyznaczenie jasności absolutnej obiektu i zmierzenie jego jasności widomej

-- jasność absolutna $M$ to jasność obiektu jaką miałby w odległości 10\,pc
$$M = m-5\log_{10} D +5$$
$$D=10^{m-M+5\over5}\simeq10\cdot1.585^{m-M}\,\mathrm{pc}$$
-- poprawka na ekstynkcję !

\begin{itemize}
 \item[] \parbox[b]{.5\textwidth}{$\rightarrow$ cefeidy i gwiazdy typu RR Lyr -- zależność okres-jasność}\hfill%
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/period-luminosity.jpg}
 \item[] \parbox[b]{.5\textwidth}{$\rightarrow$ funkcja jasności dla mgławic planetarnych -- brak mgławic jaśniejszych niż ok. $-$4\fM5}\hfill%
\includegraphics[width=.4\textwidth]{pic/PNLF.jpg}
 \item[] \parbox[b]{.5\textwidth}{$\rightarrow$ relacja Tully-Fishera -- zależność jasnośći galaktyki spiralnej i jej prędkości rotacji (szerokości lini np. H{\sc I})}\hfill%
\includegraphics[width=.3\textwidth]{pic/TullyFisher.jpg}
 \item[] \parbox[b]{.5\textwidth}{$\rightarrow$ relacja Fabera-Jacksona -- zalezność jasności galaktyki eliptycznej i dyspersji predkości jej gwiazd}\hfill%
\includegraphics[width=.35\textwidth]{pic/Faber_Jackson.png}
 \item[] $\rightarrow$ gwiazdy nowe -- ok. $-$8\fm8, lub $-$7\fM5 w maksimum, ale ok. $-$5\fM5  15 dni  po maksimum
 \item[] $\rightarrow$ gwiazdy supernowe Ia -- jasność $-$19\fM33$\pm$0\fM25 w maksimum
 \item[] $\rightarrow$ dopasowanie różnych gałęzi diagramu H-R dla poszczególnych galaktyk
 \item[] $\rightarrow$ piąta (trzecia) najjaśniejsza galaktyka w gromadzie
 \item[] $\rightarrow$ fale grawitacyjne \\{\tiny(\tt https://en.wikipedia.org/wiki/List\_of\_gravitational\_wave\_observations)}
\end{itemize}

$\bullet$ prawo Hubbla
$$D=H_0z \quad H_0\simeq75\,\mathrm{km/s/Mpc}$$

\begin{flushright}
\framebox{$\times$}
\end{flushright}
%\end{slide}
\end{document}
